Com 3 anos a maioria de nós já aprendeu a contar e uma vez que sabemos como, parece como se não tivesse nada que nos impeça de contar para sempre até o infinito... e além.
Mas, enquanto o infinito pode parecer uma idéia perfeitamente inocente, ao seguir contando a gente entra em um mundo paradoxal no qual nada é o que parece.
Os matemáticos descobriram que há um número infinito de infinitos, cada um infinitamente maior que o anterior. E se o universo é infinito, as conseqüências são ainda mais estranhas. Em um universo infinito, há um número infinito de cópias da Terra e cópias infinitas de você e eu.
Os matemáticos descobriram que há um número infinito de infinitos, cada um infinitamente maior que o anterior. E se o universo é infinito, as conseqüências são ainda mais estranhas. Em um universo infinito, há um número infinito de cópias da Terra e cópias infinitas de você e eu.
... dois meninos estão discutindo na escola. Coisa de criança – mas não para eles. Após um impasse, um deles resolve expressar uma opinião forte: “Você é bobo”. O outro não pode se ver atrás. “Você é 10 vezes mais”, ele rebate, com ar convicto. Mas a alegria dura pouco. “Você é 1 000 vezes mais”, afirma o primeiro. Então, eis que vem um xeque: “Você é bobo ao infinito”. Oh-oh. Que fazer disso? O último a ser ofendido não tem muitas dúvidas: “E você, você é bobo ao infinito vezes infinito”. Silêncio triunfal.
Pode não parecer, mas esses dois estão tropeçando, em sua discussão pueril, no mesmo problema que hoje impede os cientistas de entender a origem explosiva do Universo ou mesmo sua imensa vastidão. O conceito de infinito sempre foi, e continua sendo, uma verdadeira pedra no sapato dos físicos. Eles lutam constantemente para apagá-lo do mapa a cada esquina. Mas sempre que ele é eliminado numa equação, parece apenas se esconder para voltar a surgir lá adiante, deixando os teóricos ainda mais desconcertados.
Não é difícil entender o porquê. A primeira barreira é a mais óbvia: a mente humana não está preparada para lidar, de antemão, com um conceito tão abstrato quanto a infinidade. A discussão dos meninos é um bom exemplo da visão intuitiva que as pessoas – crianças ou não – têm dessa coisa que aprendemos a chamar de infinito. Trata-se apenas de uma forma sucinta de falar de algo muito, muito, muito grande. Ocorre que há uma diferença crucial entre o muito grande, que é finito, e o “verdadeiro” infinito, aquele que de fato não é só muito grande, mas simplesmente nunca acaba.
Ao longo da história, houve muita gente que dedicou sua vida refletindo sobre esse problema. A primeira tentativa de entender o infinito veio da antiga filosofia grega. Seguindo a tradição dos inventores dos Jogos Olímpicos, Zenão de Eléia, no século 5 a.C., imaginou uma corrida de atletismo entre o favoritíssimo Aquiles e uma simples tartaruga, que, em razão de sua óbvia desvantagem, largaria alguns metros na frente do herói mítico.
O que Zenão concluiu, para a surpresa de todos, é que Aquiles, por maior que fosse o tempo da prova, jamais ultrapassaria a tartaruga. Antes de alcançá-la, ele teria de atingir metade da distância que os separava. E, antes disso, teria de atravessar metade da metade da distância. Mas primeiro teria de atravessar a metade da metade da metade, não sem antes cumprir a metade da metade da metade da metade. Você já pode imaginar aonde ele quer chegar, e por que Aquiles jamais chegaria à tartaruga: há infinitas metades até ela, e ninguém pode cumprir infinitos passos num tempo finito.
Claro, qualquer um que já tenha apostado corrida com uma tartaruga sabe que isso não é verdade. O próprio Zenão, que criou vários outros paradoxos do mesmo tipo, certamente sabia. Mas então por que diabos ele se prestou a isso? Na verdade, sua demonstração (embora não tenha sido essa a intenção dele) foi muito útil para mostrar que a idéia que temos do infinito muitas vezes parece incompatível com a realidade.
Isso produziu uma terrível aversão à infinidade. Mesmo entre os matemáticos, que costumam explorar conceitos abstratos que normalmente são inapreensíveis pelos sentidos humanos, falar do infinito durante muito tempo foi tabu – uma daquelas coisas como dividir um número por zero, que é matematicamente proibido e ponto final. Sem muita conversa.
O infinito só entrou realmente na roda dos matemáticos com a obra de um sujeito chamado George Cantor, no fim do século 19. Em 10 anos, entre 1874 e 1884, esse russo naturalizado alemão produziu uma extensa obra sobre séries infinitas. Cantor estava tão à frente de seu tempo que o matemático Leopold Kronecker chamou suas idéias de “matematicamente insanas”, e Henri Poincaré definiu seu trabalho como algo que as gerações futuras iriam ver “como uma doença de que ele se curou”.
O que ele propunha era a existência de números transfinitos – a noção de que os conjuntos infinitos podiam ter tamanhos diferentes, serem uns maiores ou menores que os outros. Como? Imagine uma árvore com galhos infinitos – cada galho dá origem a outros dois, indo direto até a infinidade. Agora, imagine-se subindo nessa árvore, escolhendo a cada momento uma bifurcação. Logo fica claro que você subirá por toda a eternidade, porque o seu caminho escolhido tem infinitos galhos. Por outro lado, argumenta Cantor, há um número igualmente infinito de caminhos alternativos, todos eles infinitos. O conjunto de todos os caminhos possíveis é infinito, mas como inclui um caminho infinito e outros mais, é maior que o conjunto de galhos de um único caminho infinito.
Claro, quando se fala em infinito, a noção é abstrata. Por isso a maioria dos matemáticos da época não engolia o papo do Cantor. O coitado, que já não batia bem (tinha problemas psicológicos), depois de ouvir essas críticas ficou ainda mais paranóico e depressivo. Terminou seus dias em desgraça, num hospital psiquiátrico, em 1918. Mas o gênio estava fora da garrafa – dali em diante, o infinito não parou mais de incomodar os matemáticos.
Um exemplo dessas brincadeiras é a famigerada divisão por zero. Sabe-se que, numa fração, mantendo-se sempre o mesmo numerador (o número que vai em cima), quanto menor o denominador (o número que vai embaixo), maior é o resultado. Por exemplo: 10/20 é menor que 10/2, que é menor que 10/0,2. O primeiro equivale a 0,5, o segundo, a 5, e o terceiro, a 50. O que aconteceria então se o denominador tendesse a um número infinitamente pequeno? Fácil: o resultado seria infinitamente grande. Como a coisa mais próxima do infinitamente pequeno é o zero, qualquer número dividido por zero daria infinito, certo?
Errado. Para os matemáticos, essa operação tem um resultado indeterminado. Zero ainda é diferente de infinitamente pequeno, por mais próximos que estejam. O truque do infinitamente pequeno pode ajuda a resolver problemas matemáticos, mas não contorna a proibição da divisão (Deus) por zero. Agora, se o assunto é a física, fica muito mais difícil achar que o infinito vai resolver problemas, em vez de criá-los.
Mais antigo que o tempo, maior que o universo e superando a ficção, esta é a história do infinito ∞.
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